SOM und die Adaptiven Koordinaten

Beim Verfahren der Adaptiven Koordinaten (Adaptive Coodinates - AC) [4] wird versucht, die Bewegung der Gewichtsvektoren im hochdimensionalen Raum während des Trainingsprozesses in einem zweidimensionalen (virtuellen) Ausgaberaum nachzuvollziehen, welcher durch ein zusätzliches Paar adaptiver Koordinaten (ax_i/ay_i) jedes Knoten i aufgespannt wird. Diese Koordinaten sind ursprünglich mit der Position des jeweiligen Knoten in der Topologie der Karte initialisiert. Vereinfacht dargestellt wird in jedem Lernschritt festgestellt, in welchem Ausmaß die Gewichtsvektoren an ein Eingabesignal angepaßt wurden. Anschließend werden die Knoten im selben Ausmaß an den Winner, d.h. den Knoten, auf den das Eingabesignal abgebildet wurde, angenähert.

Formal geschieht dies dadurch, daß die Aktivierung jedes Knotens i, d.h. die Euklidische Distanz zum Eingabesignal zum Zeitpunkt t in einer Tabelle Dist(t) gespeichert wird. Nach erfolgter Ermittlung des Winners c und der Anpassung der Gewichtsvektoren entsprechend dem Standard Lernverfahren für SOMs wird erneut die Euklidische Distanz zum selben Inputsignal zum numehrigen Zeitpunkt (t+1) analog berechnet und die Änderung der Distanz $\Delta Dist$ ermittelt als

$$\Delta Dist_{i}(t+1) = \frac{Dist_{i}(t) - Dist_{i}(t+1)}{Dist_{i}(t)}$$ (1)

Anschließend werden die Knoten relativ zur Anpassung ihrer Gewichtsvekoren an das Inputsignal an den Winner c herangezogen, indem die adaptiven Koordinaten (ax_i/ay_i) jedes Knoten i wie in Gleichung 2 für ax_i dargestellt angepaßt werden. Die Adaption von ay_i erfolgt analog.

$$ax_{i}(t+1) = ax_{i}(t) + \Delta Dist_{i}(t+1) \cdot (ax_{c}(t) - ax_{i}(t))$$ (2)

Dadurch folgt die Bewegung der Knoten im adaptiven Ausgaberaum jener ihrer Gewichtsvektoren im hochdimensionalen Eingaberaum, sodaß am Ende des Trainingsprozesses unter Nutzung der adaptiven Koordinaten zur Darstellung die Clusterstruktur klar ersichtlich ist. (Anm.: um den starken Anpassungsschritten zu Beginn des Lernverfahrens zu begegnen, wird nach jedem Lernschritt ein Zoomschritt durchgeführt, mittles welchem die Ausdehnung des Netzes im ursprünglichen Bereich gehalten wird. Weiters setzt das Training der Adaptiven Koordinaten erst ein, nachdem eine grundsätzliche Anpassung der Karte an den Eingaberaum in den ersten Schritten erfolgt und die Lernrate bzw. Nachbarschaftsfunktion unter einen gewissen Prozentsatz vom Ausgangsniveau gefallen sind.)

Abbildung 1b zeigt die SOM aus Abbildung 1a, wobei diesmal die Positionen der Knoten durch deren adaptive Koordinaten bestimmt wird. Im Gegensatz zur Standarddarstellung sind nun die Grenzen der Cluster sowohl zwischen Vögeln und Säugetieren, als auch zwischen den jeweiligen Untergruppen viel deutlicher ersichtlich. (Die stark überlappende Abbildung einzelner Knoten resultiert nur aus den Nachteilen der gedrucken Darstellung und läßt sich leicht durch ein Vergrößern des jeweiligen Bereichs auflösen.)